人教版高中數學必修圓與方程的教案

方程，是指含有未知數的等式。方程是表示兩個數學式(如兩個數、函數、量、運算)之間相等關系的一種等式，使等式成立的未知數的值稱為“解”或“根”。求方程的解的過程稱為“解方程”。今天小編在這給大家整理了一些人教版高中數學必修圓與方程的教案，我們一起來看看吧!

人教版高中數學必修圓與方程的教案1

圓的方程

1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。

2、圓的方程

(1)標準方程，

圓心，半徑為r;

(2)一般方程

當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為

當時，表示一個點;當時，方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，

若利用圓的標準方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;

另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關系：

直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

(1)設直線，圓，圓心到l的距離為，則有;;

(2)過圓外一點的切線：①k不存在，驗證是否成立②k存在，設點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】

(3)過圓上一點的切線方程：

①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(課本命題).

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣).

4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

設圓，

兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

當時兩圓外離，此時有公切線四條;

當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條;

當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;

當時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線;

當時，兩圓內含;當時，為同心圓。

人教版高中數學必修圓與方程的教案2

一、教學目標

【知識與技能】在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑。掌握方程表示圓的條件。

【過程與方法】通過對方程表示圓的條件的探究，學生探索發現及分析解決問題的實際能力得到提高

【情感態度與價值觀】滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。

二、教學重難點

【重點】掌握圓的一般方程，以及用待定系數法求圓的一般方程。

【難點】二元二次方程與圓的一般方程及標準圓方程的關系。

三、教學過程

(一)復習舊知，引出課題

1.復習圓的標準方程，圓心、半徑。

2.提問1：已知圓心為(1,-2)、半徑為2的圓的方程是什么?

(二)交流討論，探究新知

1.提問2：方程是什么圖形?方程表示什么圖形?任何圓的方程都是這樣的二元二次方程嗎?(通過此例分析引導學生使用配方法)

2.方程什么條件下表示圓?(配方和展開由學生相互討論交流完成，教師最后展示結果)

將配方得：

3.學生在教師的引導下對方程分類討論，最后師生共同總結出3種情況，即圓的一般方程表示圓的條件。從而得出圓的一般方程式：

4.由學生歸納圓的一般方程的特點，師生共同總結。

(三)例題講解，深化新知

例1.判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程?如果是，請求出圓的圓心及半徑。

(1)(2)

例2.求過三點A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。

(四)小結作業

師生共同總結今天這節課所學知識點

作業：分必做題和選做題。

人教版高中數學必修圓與方程的教案3

教學目標

(1)掌握圓的標準方程，能根據圓心坐標和半徑熟練地寫出圓的標準方程，也能根據圓的標準方程熟練地寫出圓的圓心坐標和半徑.

(2)掌握圓的一般方程，了解圓的一般方程的結構特征，熟練掌握圓的標準方程和一般方程之間的互化.

(3)了解參數方程的概念，理解圓的參數方程，能夠進行圓的普通方程與參數方程之間的互化，能應用圓的參數方程解決有關的簡單問題.

(4)掌握直線和圓的位置關系，會求圓的切線.

(5)進一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法.

教學建議

教材分析

(1)知識結構

(2)重點、難點分析

①本節內容教學的重點是圓的標準方程、一般方程、參數方程的推導，根據條件求圓的方程，用圓的方程解決相關問題.

②本節的難點是圓的一般方程的結構特征，以及圓方程的求解和應用.

教法建議

(1)圓是最簡單的曲線.這節教材安排在學習了曲線方程概念和求曲線方程之后，學習三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論，為后繼學習做好準備.同時，有關圓的問題，特別是直線與圓的位置關系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法.因此教學中應加強練習，使學生確實掌握這一單元的知識和方法.

(2)在解決有關圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數法等思想方法，教學中應多總結.

(3)解決有關圓的問題，要經常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識和前邊學過的解析幾何的基本知識，教師在教學中要注意多復習、多運用，培養學生運算能力和簡化運算過程的意識.

(4)有關圓的內容非常豐富，有很多有價值的問題.建議適當選擇一些內容供學生研究.例如由過圓上一點的切線方程引申到切點弦方程就是一個很有價值的問題.類似的還有圓系方程等問題.

教學設計示例

圓的一般方程

教學目標：

(1)掌握圓的一般方程及其特點.

(2)能將圓的一般方程轉化為圓的標準方程，從而求出圓心和半徑.

(3)能用待定系數法，由已知條件求出圓的一般方程.

(4)通過本節課學習，進一步掌握配方法和待定系數法.

教學重點：(1)用配方法，把圓的一般方程轉化成標準方程，求出圓心和半徑.

(2)用待定系數法求圓的方程.

教學難點：圓的一般方程特點的研究.

教學用具：計算機.

教學方法：啟發引導法，討論法.

教學過程：

【引入】

前邊已經學過了圓的標準方程

把它展開得

任何圓的方程都可以通過展開化成形如

①

的方程

【問題1】

形如①的方程的曲線是否都是圓?

師生共同討論分析：

如果①表示圓，那么它一定是某個圓的標準方程展開整理得到的.我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎?運用配方法，得

②

顯然②是不是圓方程與 是什么樣的數密切相關，具體如下：

(1)當 時，②表示以 為圓心、以 為半徑的圓;

(2)當 時，②表示一個點 ;

(3)當 時，②不表示任何曲線.

總結：任意形如①的方程可能表示一個圓，也可能表示一個點，還有可能什么也不表示.

圓的一般方程的定義：

當 時，①表示以 為圓心、以 為半徑的圓，

此時①稱作圓的一般方程.

即稱形如 的方程為圓的一般方程.

【問題2】圓的一般方程的特點，與圓的標準方程的異同.

(1) 和 的系數相同，都不為0.

(2)沒有形如 的二次項.

圓的一般方程與一般的二元二次方程

③

相比較，上述(1)、(2)兩個條件僅是③表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件.

圓的一般方程與圓的標準方程各有千秋：

(1)圓的標準方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然.

(2)圓的一般方程表現出明顯的代數的形式與結構，更適合方程理論的運用.

【實例分析】

例1：下列方程各表示什么圖形.

(1) ;

(2) ;

(3) .

學生演算并回答

(1)表示點(0，0);

(2)配方得 ，表示以 為圓心，3為半徑的圓;

(3)配方得 ，當 、 同時為0時，表示原點(0，0);當 、 不同時為0時，表示以 為圓心， 為半徑的圓.

例2：求過三點 ， ， 的圓的方程，并求出圓心坐標和半徑.

分析：由于學習了圓的標準方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標準方程求解，也可以用一般方程求解.

解：設圓的方程為

因為 、 、 三點在圓上，則有

解得： ， ，

所求圓的方程為

可化為

圓心為 ，半徑為5.

請同學們再用標準方程求解，比較兩種解法的區別.

【概括總結】通過學生討論，師生共同總結：

(1)求圓的方程多用待定系數法.其步驟為：由題意設方程(標準方程或一般方程);根據條件列出關于待定系數的方程組;解方程組求出系數，寫出方程.

(2)如何選用圓的標準方程和圓的一般方程.一般地，易求圓心和半徑時，選用標準方程;如果給出圓上已知點，可選用一般方程.

下面再看一個問題：

例3： 經過點 作圓 的割線，交圓 于 、 兩點，求線段 的中點 的軌跡.

解：圓 的方程可化為 ，其圓心為 ，半徑為2.設 是軌跡上任意一點.

∵

∴

即

化簡得

點 在曲線上，并且曲線為圓 內部的一段圓弧.

【練習鞏固】

(1)方程 表示的曲線是以 為圓心，4為半徑的圓.求 、 、 的值.(結果為4，-6，-3)

(2)求經過三點 、 、 的圓的方程.

分析：用圓的一般方程，代入點的坐標，解方程組得圓的方程為 .

(3)課本第79頁練習1，2.

【小結】師生共同總結：

(1)圓的一般方程及其特點.

(2)用配方法化圓的一般方程為圓的標準方程，求圓心坐標和半徑.

(3)用待定系數法求圓的方程.

【作業】課本第82頁5，6，7，8.

人教版高中數學必修圓與方程的教案4

一、教學目標

【知識技能目標】

1.掌握圓的標準方程的推導過程和理解方程中各參數的含義;

2.掌握利用方程判斷點與圓的位置關系的方法;

3.能夠根據已知條件求圓的標準方程。

【過程與方法目標】

通過動手操作、自主探究、合作討論的方法，培養學生觀察問題的能力，體會數形結合思想，初步形成代數方法解決幾何問題的能力。

【情感態度與價值目標】

通過對圓的標準方程的推到過程的探索，激發學生自主探索數學問題的熱情，培養學生積極思考，自主構建知識體系的學習態度，在活動中增強探索數學規律的興趣，積累積極的數學學習體驗。

二、教學重難點

【教學重點】

掌握圓的標準方程及其應用;

【教學難點】

掌握圓的標準方程的推導過程及能夠根據已知條件求解圓的標準方程。

三、教學方法

講授法、提問法、小組討論法、類比探究法

四、教學過程

(一)溫故知新、引入新課

PPT展示問題：

通過上一章的學習，我們發現如果在直線L上任取一點P(x,y)，找到該點的橫縱坐標滿足的一個關系式，通過驗證，我們知道了直線這一平面圖形可以由一個代數中的二元一次方程來表示，我們就稱此方程為直線的方程。從而，通過方程利用代數的方法研究了直線的性質與特點。事實上，這種方法是解析幾何解決問題的基本方法，那我們能不能采用這一方法來探圓是否也具有類似的性質和特點呢?

學生獨立思考，做出回答，教師進行評價，引入新課。

(二)合作探究，新課講授

1、方程推導

教師PPT出示問題：這里我們設圓O的圓心坐標為A(a,b)，半徑為r(其中a、b、r都是常數，r>0>)。且設點M(x,y)為這個圓上任意一點。探究點M應該滿足什么樣的條件?

學生利用3分鐘時間小組合作探究，過程中教師巡視指導。學生根據兩點間距離公式推導出M點滿足方程1。教師引導學生為使得方程簡潔美觀，將推導出的方程進行等價變形，等式兩邊同時平方得到方程2。教師給予針對性評價。

2、證明總結

教師引導學生對推導出的方程進行證明并總結：若M(x，y)在圓上，由上述討論可知，點M的坐標適用該方程;反之若M(x，y)的坐標適合方程，這就說明點M與圓心的距離為r，即點M在圓心為A的圓上。那我們就把該方程稱為圓心為A(a，b)，半徑為r的圓的標準方程。特別地，若圓心為坐標原點(0，0)，則圓的標準方程為：x2+y2=r2。

課堂一分鐘，學生辨析圓的標準方程的概念，加強對方程中各參數的理解。

3、方程求解

教師PPT分別出示例題1，例題2，找學生代表到黑板上進行板演，其他學生在練習本上完成。完成之后讓學生進行講解解題思路，教師進行補充和總結，引導學生分析不同已知條件下使用不同的求解方法，掌握待定系數法和數形結合方法的解題步驟。

(三)鞏固練習，深化提高

教師大屏幕出示題目例題，在例1、例2的學習基礎上對方法進一步應用，2、3組代表到黑板上板演，其他同學在練習本上完成，小組內評議。教師巡視指導學生規范解題步驟，過程中合理設錯。

(四)課堂小結，總結提升

知識技能方面：

(1)掌握了圓的標準方程的概念和方程中各參數含義;

(2)知道了求任意三角形外接圓的方程可以用待定系數法和數形結合的方法;

(3)掌握了辨析已知條件采用相應的方法求解圓的標準方程。

思想方法方面:

體會了類比、由特殊到一般、數形結合的思想方法。

(五)布置作業

1.課本余下的練習題

2.思考如何利用方程判斷點在圓內和圓外的情況